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sexta-feira, 31 de maio de 2013

Determinar o menor numero natural que deixa restos 3, 5 e 6 quando dividido por 5, 7 e 8, respectivamente.


Solução:
Seja D o número que procuramos. 
Então,
D = 5q1 + 3
D = 7q2 + 5

D = 8q3 + 6

Se somarmos 2 a cada lado da igualdade teremos:
D + 2 = 5q1 + 3 + 2
D + 2 = 7q2 + 5 + 2
D + 2 = 8q3 + 6 + 2

Com isto não alteramos os valores das igualdades e podemos reescrevê-las assim:
D + 2 = 5q1 + 5  => D + 2 = 5(q1 + 1)
D + 2 = 7q2 + 7  => D + 2 = 7(q2 + 1)
D + 2 = 8q3 + 8  => D + 2 = 8(q2 + 1)

Isto quer dizer que se adicionarmos ao número que procuramos (D) o número 2 teremos um número que é múltiplo comum de 5, 7 e 8. Assim, precisamos do mmc(5, 7, 8).
mmc(5, 7, 8) = 280.

 Então o número que procuramos é: D + 2 = 280, ou 

D = 280 - 2 = 278

Prova:
278 ÷ 5 = 55 com resto 3
278 ÷ 7 = 39 com resto 5
278 ÷ 8 = 34 com resto 6

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